无理式的运算

一、 无理式的定义与性质

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1. 定义：根号下含有变量字母的代数式称为无理式（如 $\sqrt{x}$）。

2. 基本性质（假设根式均有意义）：

• 根指抵消：$\sqrt[kn]{a^{km}}=\sqrt[n]{a^m}$

• 积/商开方：$\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}$ ； $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$

• 根号套根号：$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}$

二、 重要结论与方法

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1. 绝对值分类讨论（灵魂核心）

• $\sqrt{a^2}=|a|=\{\begin{array}{ll}a,& a\ge 0\\ -a,& a<0\end{array}$

• 注意：偶次根号脱壳必须带绝对值！奇次根号直接脱：$\sqrt[3]{a^3}=a$。

2. 有理化（去根号三板斧）

• 平方差：利用 $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$ 消去平方根。

• 立方差：利用 $(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)=a^3\pm b^3$ 消去立方根。

3. 完全平方公式的逆用

• 在根号下看到 $x+y\pm 2\sqrt{xy}$，要立刻反应出它是：

  $(\sqrt{\mathbf{x}}\pm \sqrt{\mathbf{y}}{)}^2$

4. 考研常备：完全平方公式的“倒数变形”小技巧 🌟

• 利用公式 $(a\pm b{)}^2=a^2+b^2\pm 2ab$。

• 当 $a$ 与 $b$ 是倒数关系时（即 $a\cdot b=1$），公式可以极大简化：

  • $(\mathbf{a}+\frac{1}{\mathbf{a}}{)}^2={\mathbf{a}}^2+\frac{1}{{\mathbf{a}}^2}+2$

  • $(\mathbf{a}-\frac{1}{\mathbf{a}}{)}^2={\mathbf{a}}^2+\frac{1}{{\mathbf{a}}^2}-2$

• （注：这与例 1中处理 $\sqrt{\frac{x}{y}}$ 和 $\sqrt{\frac{y}{x}}$ 的通分思路本质是一样的，掌握后能省去很多中间通分步骤。）

三、例题

例 1：已知 $\sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{x}}=a$ ($x>y>0$)，求 $\frac{y\sqrt{a^2-4}}{a-\sqrt{a^2-4}}$。

👉 点击展开：解析过程

第一步：对已知条件 $a$ 进行通分

$a=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{y}}+\frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x}}=\frac{(\sqrt{x}{)}^2+(\sqrt{y}{)}^2}{\sqrt{xy}}=\frac{\mathbf{x}+\mathbf{y}}{\sqrt{\mathbf{xy}}}$

第二步：计算并通分 $\sqrt{a^2-4}$

1. $a^2-4={\left(\frac{x+y}{\sqrt{xy}}\right)}^2-4=\frac{(x+y{)}^2-4xy}{xy}$

2. 根据完全平方公式转换：$\frac{x^2+2xy+y^2-4xy}{xy}=\frac{(x-y{)}^2}{xy}$

3. 开方（由 $x>y$ 知为正）：$\sqrt{{\mathbf{a}}^2-4}=\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{\sqrt{\mathbf{xy}}}$

第三步：计算分式的分母

$a-\sqrt{a^2-4}=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}-\frac{x-y}{\sqrt{xy}}=\frac{2y}{\sqrt{\mathbf{xy}}}$

第四步：整体代入化简

$原式=\frac{y\cdot \frac{x-y}{\sqrt{xy}}}{\frac{2y}{\sqrt{xy}}}=\frac{y(x-y)}{2y}=\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{2}$

结论：结果为 $\frac{x-y}{2}$ ✅

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例 2：化简 $\frac{\sqrt[3]{a^{2}b}-\sqrt[3]{a{b}^2}}{\sqrt[3]{ax}-\sqrt[3]{bx}}$。

👉点击展开：解析过程（提取公因式）

第一步：分子分母分别提取公因式

• 分子提取 $\sqrt[3]{ab}$：$\sqrt[3]{ab}\cdot (\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})$

• 分母提取 $\sqrt[3]{x}$：$\sqrt[3]{x}\cdot (\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})$

第二步：约分化简

直接约去相同的项 $(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})$：

$原式=\frac{\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{x}}$

第三步：分母有理化

分子分母同乘 $\sqrt[3]{x^2}$：

$\frac{\sqrt[3]{ab}\cdot \sqrt[3]{x^2}}{x}=\frac{\sqrt[3]{ab{x}^2}}{x}$