10.10-辅助角

一、公式

对于形如 Asinα+Bcosα 的式子，可通过提取模长和和角公式化简为单一三角函数：

Asinα+Bcosα=A2+B2​ sin(α+φ)

其中：

• A2+B2​：系数的模长（振幅）
• φ：辅助角，满足 cosφ=A2+B2​A​, sinφ=A2+B2​B​

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二、例题

eg1

eg2

注意点： 1、sin是奇函数可以把负号提出来

eg3

注意点： 1、这里用整体代换法换成sint的图像方便计算，因为x有取值范围。然后也注意2sint的图像y的值最大可取到2，然后注意整体代换要把t的取值范围算出来，然后2/3派取不到最大，因为最大是2所以不管它的值。

eg4

注意点： 1、这里关于x对称取得就是最大值和最小值 2、利用辅助角性质$A\sin \omega x+B\cos \omega x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (\omega x+\phi )$，然后推导出来$f(x_{\text{对称轴}})=\pm \sqrt{A^2+B^2}$，$\text{函数最大值：}\sqrt{A^2+B^2}$，$\text{函数最小值：}-\sqrt{A^2+B^2}$

eg5

注意点： 1、这里注意先是降次升角 2、注意最后整体代换完，虽然1是最大值，但是原式外面还要加个1/2

eg6

注意点：

• 1、先降幂升角再合并：遇到 sinxcosx、cos2x 这类式子，优先用二倍角公式转化为倍角 2x 的三角函数，避免直接处理单角导致复杂。
• 2、辅助角公式要匹配特殊角：化简后若系数为 21​、23​​ 等，直接对应 30∘、60∘ 等特殊角，快速合并为单一三角函数。
• 3、对称中心验证用函数值为 0：判断点 (a,0) 是否为对称中心，只需计算 f(a) 是否为 0，无需复杂推导。
• 4、最值差为 2 时最小间隔是半周期：正弦型函数最大值与最小值的差为 2A（A 为振幅），此时两点的最小水平间隔为半周期，而非整周期。
• 5、图像平移仅对 x 做变换：平移时要将 x 替换为 x±Δx，而非对整体角操作，避免符号或倍数错误。
• 6、解三角方程先定整体角范围：令 t=ωx+φ，先确定 t 的范围再求解，最后还原为 x，防止漏解或多解。