和积与差的转化

一、核心公式

Info

$|a-b|=\sqrt{(\mathbf{a}-\mathbf{b}{)}^2}=\sqrt{(\mathbf{a}+\mathbf{b}{)}^2-4ab}$

推导逻辑：

1. $(a+b{)}^2=a^2+2ab+y^2$

2. $(a-b{)}^2=a^2-2ab+y^2$

3. 两式相减：$(a+b{)}^2-(a-b{)}^2=4ab$

4. 移项即得：$(a-b{)}^2=(a+b{)}^2-4ab$

---

二、例题

例题1：无理式化简

已知：$x+y=10$，$xy=9$，且 $x<y$，求 $x-y$ 的值。

👉 点击展开逻辑拆解

第一步：套用转化公式

$(x-y{)}^2=(x+y{)}^2-4xy$

第二步：代入数值

$(x-y{)}^2=10^2-4\times 9=100-36=64$

第三步：开方（注意正负号）

$|x-y|=\sqrt{64}=8$

因为 $x<y$，所以 $x-y=-8$。 ✅

常见变形（需背诵）

1. 倒数型：若 $b=\frac{1}{a}$（即 $ab=1$），则：

   $(a-\frac{1}{a}{)}^2=(a+\frac{1}{a}{)}^2-4$

2. 平方和转化：

   $a^2+b^2=(a+b{)}^2-2ab=(a-b{)}^2+2ab$