三角函数与反三角函数

一、 基础三角函数

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常见三角函数：

① 正弦函数：$y=\sin x$ ② 余弦函数：$y=\cos x$ ③ 正切函数：$y=\tan x$

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二、 反三角函数（核心考点：主值区间）

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1. 反正弦函数 ($y=\arcsin x$)

• 主值区间截取：因为 $\sin x$ 是周期函数，为了保证它有反函数（必须单调），通常取 $y=\sin x$ 在 $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$ 这一段单调增加的区间。

• 定义：这一段所决定的反函数，叫作 $y=\sin x$ 的反函数的主值，记作 $\mathbf{y}=\arcsin \mathbf{x}$。

• (注：$\arcsin$ 是英文 arc sine 的缩写，代表用弧长/角度来度量)。

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2. 反余弦函数 ($y=\arccos x$)

• 主值区间截取：取 $y=\cos x$ 在 $[0,\pi ]$ 这一段单调减少的区间。

• 定义：这一段所决定的反函数主值，记作 $\mathbf{y}=\arccos \mathbf{x}$。

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3. 反正切函数 ($y=\arctan x$)

• 主值区间截取：取 $y=\tan x$ 在 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 这一段单调增加的区间。（⚠️注意：这里是开区间，因为 $\pm \frac{\pi }{2}$ 处没有定义，有渐近线）。

• 定义：这一段所决定的反函数主值，记作 $\mathbf{y}=\arctan \mathbf{x}$。

三、例题

Example

例 46：画出函数 $y=1+2\sin \pi x$ 的图像。

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第一步：确定周期与振幅

由于 $2\sin [\pi (x+2)]=2\sin (\pi x+2\pi )=2\sin \pi x$，可知函数 $2\sin \pi x$ 是以 $2$ 为周期的周期函数，振幅为 $2$。

第二步：画图与平移

先画出函数 $y=2\sin \pi x$ 一个周期的图像，然后将此图像向上平移 1 个单位，向其他周期扩展后即为所求函数的图像。

📝 图像平移法则：

• 垂直平移：$y=f(x)\to y=f(x)+y_0$ （$y_0>0$ 向上平移，$y_0<0$ 向下平移）

• 水平平移：$y=f(x)\to y=f(x+x_0)$ （$x_0>0$ 向左平移，$x_0<0$ 向右平移，即“左加右减”）

Example

例 47：画出函数 $y=\sin (x+\frac{\pi }{4})$ 的图像。

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利用“左加右减”平移：

函数 $y=\sin (x+\frac{\pi }{4})$ 的图像，可由函数 $y=\sin x$ 的图像向左平移 $\frac{\pi }{4}$ 得到。

Example

例 48：为得到函数 $y=\cos (2x+\frac{\pi }{3})$ 的图像，可以将函数 $y=\sin 2x$ 的图像（　）。

(A) 向左平移 $\frac{5\pi }{12}$ 个长度单位

(B) 向右平移 $\frac{5\pi }{12}$ 个长度单位

(C) 向左平移 $\frac{5\pi }{6}$ 个长度单位

(D) 向右平移 $\frac{5\pi }{6}$ 个长度单位

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核心技巧：利用诱导公式凑同名函数

1. 目标函数是 $\cos$，原函数是 $\sin$，必须先统一。

2. 利用诱导公式 $\sin (\frac{\pi }{2}+\theta )=\cos \theta$，令 $\theta =2x+\frac{\pi }{3}$：

   $\cos (2x+\frac{\pi }{3})=\sin (\frac{\pi }{2}+2x+\frac{\pi }{3})=\sin (2x+\frac{5\pi }{6})$。

3. 设平移量为 $a$，对 $y=\sin 2x$ 进行平移得到 $y=\sin 2(x+a)=\sin (2x+2a)$。

4. 令对应项相等：$2a=\frac{5\pi }{6}+2k\pi ⟹a=\frac{5\pi }{12}+k\pi (k\in \mathbf{Z})$。

5. 取 $k=0$，得最小正平移量 $a=\frac{5\pi }{12}$。因为 $a>0$，故向左平移。

📝 图像伸缩法则：

• 垂直伸缩：$y=f(x)\to y=kf(x)$ （垂直伸缩 $k$ 倍）

• 水平伸缩：$y=f(x)\to y=f(kx)$ ($k>0$) （水平伸缩至 $\frac{1}{k}$ 倍）

结论：选 (A) ✅

Example

例 49：若 $\alpha$ 为第四象限角，则（　）。

(A) $\cos 2\alpha >0$ \quad (B) $\cos 2\alpha <0$ \quad (C) $\sin 2\alpha >0$ \quad (D) $\sin 2\alpha <0$

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巧用不等式放缩判断象限：

1. 已知 $\alpha$ 为第四象限角，用不等式表示为：

   $2k\pi +\frac{3\pi }{2}<\alpha <2k\pi +2\pi (k\in \mathbf{Z})$。

2. 题目要求 $2\alpha$ 的性质，将不等式同时乘以 2：

   $4k\pi +3\pi <2\alpha <4k\pi +4\pi (k\in \mathbf{Z})$。

3. 这里的 $4k\pi$ 相当于转了偶数圈，不影响终边位置。因此 $2\alpha$ 的终边落在 $3\pi$ 到 $4\pi$ 之间。

4. 减去一个周期 $2\pi$，等价于 $\pi <2\alpha <2\pi$，这说明 $2\alpha$ 落在第三或第四象限。

5. 在第三、四象限，正弦值始终为负，即 $\sin 2\alpha <0$。

结论：选 (D) ✅

Example

例 50：已知 $-\frac{\pi }{2}<x<0$, $\sin x+\cos x=\frac{1}{5}$，则 $\sin x-\cos x=$（　）。

(A) $\frac{7}{5}$ \quad (B) $-\frac{7}{5}$ \quad (C) $\frac{\sqrt{7}}{5}$ \quad (D) $-\frac{\sqrt{7}}{5}$

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代数桥梁：“和的平方”与“差的平方”转换

6. 先求交叉项 $2\sin x\cos x$：

   将已知条件两边平方：$(\sin x+\cos x{)}^2=\frac{1}{25}$。

   展开得到：${\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1+2\sin x\cos x=\frac{1}{25}$。

   解得：$2\sin x\cos x=-\frac{24}{25}$。

7. 求差的平方：

   $(\sin x-\cos x{)}^2={\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x=1-2\sin x\cos x$。

   代入上一步结果：$1-(-\frac{24}{25})=\frac{49}{25}$。

8. 根据象限开方定正负：

   因为 $-\frac{\pi }{2}<x<0$（即第四象限），此时 $\sin x<0$ 且 $\cos x>0$。

   因此，一个负数减去一个正数，结果必然为负，即 $\sin x-\cos x<0$。

   对 $\frac{49}{25}$ 开负根，得到 $-\frac{7}{5}$。

结论：选 (B) ✅

Example

例 51：若 $3\sin \alpha -\sin \beta =\sqrt{10}$, $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$，则 $\sin \alpha =$ ________。

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第一步：利用诱导公式消元

由 $\alpha +\beta =\frac{\pi }{2}$ 可得 $\beta =\frac{\pi }{2}-\alpha$。

代入已知等式得：$3\sin \alpha -\sin (\frac{\pi }{2}-\alpha )=3\sin \alpha -\cos \alpha =\sqrt{10}$。

移项得到：$\cos \alpha =3\sin \alpha -\sqrt{10}$。

第二步：结合平方和恒等式求解

将上式代入基本恒等式 ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 中：

${\sin }^2\alpha +(3\sin \alpha -\sqrt{10}{)}^2=1$。

展开并化简：

${\sin }^2\alpha +9{\sin }^2\alpha -6\sqrt{10}\sin \alpha +10=1$

$10{\sin }^2\alpha -6\sqrt{10}\sin \alpha +9=0$。

第三步：配方解二次方程

观察左边，恰好是一个完全平方公式：$(\sqrt{10}\sin \alpha -3{)}^2=0$。

解得：$\sin \alpha =\frac{3}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{10}$。

结论：填 $\frac{3\sqrt{10}}{10}$ ✅

Example

例 58：若 $\arcsin x>\arccos x$，则 $x$ 的取值范围是 ________。

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方法一：代数解法（三角代换）

9. 根据反三角函数的值域，由题设可知 $\frac{\pi }{2}\ge \arcsin x>\arccos x\ge 0$。

10. 令 $\arccos x=t$，则 $x=\cos t$，且 $\sin t=\sqrt{1-x^2}$。

11. 因为正弦函数在 $[0,\frac{\pi }{2}]$ 上单调增加，对不等式两边同时取 $\sin$：

    $1\ge \sin (\arcsin x)>\sin t\ge 0$。

    即：$1\ge x>\sqrt{1-x^2}\ge 0$。

12. 两边平方解不等式：$x^2>1-x^2⟹2x^2>1⟹x^2>\frac{1}{2}$。

13. 结合前面得出的 $x>0$，可得 $x>\frac{\sqrt{2}}{2}$。再结合定义域上限，最终范围是 $\frac{\sqrt{2}}{2}<x\le 1$。

方法二：数形结合法

书中点明：“若考生能熟练且准确画出反三角函数的图形，则 $x$ 的取值范围一目了然”。

观察图像，$y=\arcsin x$ 与 $y=\arccos x$ 的交点横坐标为 $x=\frac{\sqrt{2}}{2}$。要使 $\arcsin x>\arccos x$（即反正弦图像在反余弦图像上方），只需 $x\in (\frac{\sqrt{2}}{2},1]$ 即可。

结论：填 $(\frac{\sqrt{2}}{2},1]$ ✅