幂、指数、对数函数

一、 幂函数 (Power Function)

Info

定义：$y=x^{\mu }$ ($\mu$ 为实数)。

常用形式：$y=x,y=x^2,y=\sqrt{x},y=x^3,y=\sqrt[3]{x},y=\frac{1}{x}$

🖼️ 点击展开：常用幂函数图像

(提示：这里包含图 1 的 a、b、c 三个子图，展示了奇偶次幂和倒数的走向)

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二、 指数函数 (Exponential Function)

Info

定义：$y=a^x(a>0,a\ne 1)$。最常用的是自然指数 $y=e^x$。

核心运算法则（必须刻在 DNA 里）：

• $a^{\alpha }\cdot a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }$ （同底相乘，指数相加）

• $\frac{a^{\alpha }}{a^{\beta }}=a^{\alpha -\beta }$ （同底相除，指数相减）

• $(a^{\alpha }{)}^{\beta }=a^{\alpha \beta }$ （幂的乘方，指数相乘）

• $(ab{)}^{\alpha }=a^{\alpha }{b}^{\alpha }$ ； ${\left(\frac{a}{b}\right)}^{\alpha }=\frac{a^{\alpha }}{b^{\alpha }}$

🖼️ 点击展开：指数函数图像 ( $a>1$ 与 $0<a<1$)

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三、 对数函数 (Logarithmic Function)

Info

定义：$y={\log }_{a}x(a>0,a\ne 1)$。它与 $y=a^x$ 互为反函数。

常用形式：自然对数 $y=\ln x$ （即 ${\log }_{e}x$，其中 $e\approx 2.7$）。

核心运算法则（计算化简核心）：

• ${\log }_a(MN)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$ （积的对数 = 对数的和）

• ${\log }_a\frac{M}{N}={\log }_{a}M-{\log }_{a}N$ （商的对数 = 对数的差）

• ${\log }_a{M}^n=n{\log }_{a}M$ （幂的对数 = 对数的倍数）

• ${\log }_a\sqrt[n]{M}=\frac{1}{n}{\log }_{a}M$

🖼️ 点击展开：对数函数图像

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四、 函数与方程的对称问题 🌟🌟🌟

(考研极其喜欢在选择题里考对称轴的平移，下面为你整理了纯文字提纯版，无惧乱码)

Warning

1. 基础对称（坐标轴与原点）

• 关于 $y$ 轴 ($x=0$) 对称：$\mathbf{y}=\mathbf{f}(-\mathbf{x})$ (偶函数特性)

• 关于 $x$ 轴 ($y=0$) 对称：$\mathbf{y}=-\mathbf{f}(\mathbf{x})$

• 关于 原点 $(0,0)$ 对称：$\mathbf{y}=-\mathbf{f}(-\mathbf{x})$ (奇函数特性)

2. 直线对称（重难点）

• 关于直线 $x=m$ 对称：$\mathbf{y}=\mathbf{f}(2m-\mathbf{x})$

• 关于直线 $y=n$ 对称：$\mathbf{y}=2n-\mathbf{f}(\mathbf{x})$

• 关于直线 $y=x$ 对称：$\mathbf{x}=\mathbf{f}(\mathbf{y})$ (反函数互换)

3. 点对称

• 关于点 $(m,n)$ 对称：$\mathbf{y}=2n-\mathbf{f}(2m-\mathbf{x})$

👉 点击展开：点、函数、方程对称变换大全（完整参照表）

复习建议：上面的核心速记应对 90% 的函数题足够了。如果遇到点 $P(x,y)$ 或隐函数方程 $f(x,y)=0$ 的冷门对称考法，请查阅此原表。

🖼️ 原书对称变换大全表：

五、 例题

Example

例 30：若对任意 $x\in \mathbf{R}$，不等式 $|x|\ge ax$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（　）

(A) $a<-1$ (B) $|a|\le 1$ (C) $|a|<1$ (D) $a\ge 1$

👉 点击展开：解析过程

方法：数形结合

1. 在同一坐标系中画出函数 $y=|x|$ 和直线 $y=ax$ 的图像。

2. 不等式 $|x|\ge ax$ 恒成立，意味着在整个 $x$ 轴上，$y=|x|$ 的图像始终在 $y=ax$ 的上方或与其重合。

3. 观察图像可知，只要直线 $y=ax$ 的斜率 $a$ 介于 $-1$ 和 $1$ 之间（即处于 $y=|x|$ 两侧分支构成的“V”字形夹角区域内），即可满足条件。

4. 故 $|a|\le 1$。

结论：选 (B) ✅

Example

例 31：已知函数 $y=\frac{|x^2-1|}{x-1}$ 的图像与函数 $y=kx$ 的图像恰有两个不同交点，则实数 $k$ 的取值范围是 ________。

👉 点击展开：解析过程

第一步：去绝对值，转化为分段函数

$y=\frac{|(x-1)(x+1)|}{x-1}=\{\begin{array}{ll}x+1,& x>1\\ -(x+1),& -1\le x<1\\ x+1,& x<-1\end{array}$

(注意：根据分母 $x-1\ne 0$，定义域隐含 $x\ne 1$)

第二步：数形结合寻找交点

1. 画出上述分段函数的图像（注意 $x=1$ 处为空心点）。

2. $y=kx$ 是恒过原点 $(0,0)$ 的直线，转动该直线观察交点个数。

3. 当直线斜率 $k$ 满足 $0<k<1$ 时，与左侧射线及中间线段各有一个交点（共 2 个）。

4. 当斜率 $1<k<2$ 时，与右侧射线及中间线段各有一个交点（共 2 个）。

结论：填 $0<k<1$ 或 $1<k<2$ ✅

Example

例 33：设函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{e}^{x-1},& x<1\\ x^{\frac{1}{3}},& x\ge 1\end{array}$，则使得 $f(x)\le 2$ 成立的 $x$ 的取值范围是 ________。

👉 点击展开：解析过程

分段解不等式：

① 当 $x<1$ 时：

需满足 $e^{x-1}\le 2$。两边取自然对数得 $x-1\le \ln 2⟹x\le 1+\ln 2$。

结合前提条件 $x<1$，此段解集为 $\mathbf{x}<1$。

② 当 $x\ge 1$ 时：

需满足 $x^{\frac{1}{3}}\le 2$。两边同立方面方得 $x\le 8$。

结合前提条件 $x\ge 1$，此段解集为 $1\le \mathbf{x}\le 8$。

综合①和②：

取并集得 $x\le 8$。

结论：填 $(-\infty ,8]$ ✅

Example

例 36：在 $\mathbf{R}$ 上定义的函数 $f(x)$ 是偶函数，且 $f(x)=f(2-x)$，若 $f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上是减函数，则函数 $f(x)$（　）

(A) 在区间 $[-2,-1]$ 上单调增加，在区间 $[3,4]$ 上单调增加

(B) 在区间 $[-2,-1]$ 上单调增加，在区间 $[3,4]$ 上单调减少

(C) 在区间 $[-2,-1]$ 上单调减少，在区间 $[3,4]$ 上单调增加

(D) 在区间 $[-2,-1]$ 上单调减少，在区间 $[3,4]$ 上单调减少

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第一步：挖掘对称性

1. $f(x)$ 为偶函数 $⟹$ 图像关于 $y$ 轴 ($x=0$) 对称。

2. $f(x)=f(2-x)⟹$ 图像关于直线 $x=1$ 对称。

第二步：推导单调性区间

1. 已知在 $[1,2]$ 上为减函数。

2. 由关于 $x=1$ 对称可知，在 $[0,1]$ 上必为增函数。

3. 由关于 $x=0$ 对称（偶函数性质）可知，在 $[-1,0]$ 上必为减函数，在 $[-2,-1]$ 上必为增函数。

4. 由于函数在 $x=0$ 和 $x=1$ 之间来回对称，容易看出这是一个波浪形的周期函数。

5. 区间 $[3,4]$ 相当于区间 $[1,2]$ 向右平移，其增减性与 $[1,2]$ 保持一致，因此在 $[3,4]$ 上为减函数。

结论：选 (B) ✅

Example

例 37：设函数 $f(x)=\ln |2x+1|-\ln |2x-1|$，则 $f(x)$（　）

(A) 是偶函数，且在区间 $(\frac{1}{2},+\infty )$ 上单调增加

(B) 是奇函数，且在区间 $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 上单调减少

(C) 是偶函数，且在区间 $(-\infty ,-\frac{1}{2})$ 上单调增加

(D) 是奇函数，且在区间 $(-\infty ,-\frac{1}{2})$ 上单调减少

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第一步：判断奇偶性

考察 $f(-x)$ 的表达式：

$f(-x)=\ln |-2x+1|-\ln |-2x-1|=\ln |2x-1|-\ln |2x+1|=-f(x)$。

故 $f(x)$ 是奇函数。直接排除 A、C 选项。

第二步：判断单调性

取 $x\in (\frac{1}{2},+\infty )$，此时绝对值符号内的式子均为正数：

$f(x)=\ln (2x+1)-\ln (2x-1)=\ln \frac{2x+1}{2x-1}=\ln (1+\frac{2}{2x-1})$

在该区间内，$2x-1$ 单调递增，故 $\frac{2}{2x-1}$ 单调递减，从而整体 $1+\frac{2}{2x-1}$ 单调递减。

因为外层 $\ln$ 函数是增函数，复合后 $f(x)$ 在 $(\frac{1}{2},+\infty )$ 上单调递减。

根据奇函数关于原点对称的性质，在 $(-\infty ,-\frac{1}{2})$ 上也必然单调递减。

结论：选 (D) ✅

Example

例 39：Logistic 模型是常用数学模型之一。某地区某流行病累计确诊病例数 $I(t)$ 的模型为：$I(t)=\frac{K}{1+e^{-0.23(t-53)}}$，其中 $K$ 为最大确诊病例数。当 $I(t^{\ast })=0.95K$ 时，标志着已初步遏制疫情，$\ln 19\approx 3$，则 $t^{\ast }$ 约为（　）

(A) 60 (B) 63 (C) 66 (D) 69

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应用对数运算法则解方程：

1. 代入题设：$\frac{K}{1+e^{-0.23(t^{\ast }-53)}}=0.95K=\frac{19}{20}K$

2. 约掉 $K$ 得：$1+e^{-0.23(t^{\ast }-53)}=\frac{20}{19}$

3. 移项并取倒数：$e^{-0.23(t^{\ast }-53)}=\frac{1}{19}⟹e^{0.23(t^{\ast }-53)}=19$

4. 两边取自然对数：$0.23(t^{\ast }-53)=\ln 19\approx 3$

5. 解得 $t^{\ast }-53\approx \frac{3}{0.23}\approx 13$。

6. 故 $t^{\ast }\approx 53+13=66$。

结论：选 (C) ✅

Example

例 41：函数 $y=f(x)$ 的图像与函数 $y=g(x)$ 的图像关于直线 $x+y=0$ 对称，则 $y=f(x)$ 的反函数是（　）

(A) $y=g(x)$ (B) $y=g(-x)$ (C) $y=-g(x)$ (D) $y=-g(-x)$

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利用点对称推导反函数：

1. 设点 $P(x,y)$ 满足 $y=f(x)$。

2. 点 $P(x,y)$ 关于直线 $y=-x$ 的对称点为 $P^{\prime }(-y,-x)$。

3. 因为 $f(x)$ 与 $g(x)$ 关于 $y=-x$ 对称，所以 $P^{\prime }$ 必在 $y=g(x)$ 的图像上。将点代入得：$-x=g(-y)$，即 $x=-g(-y)$。

4. 我们要求的是 $y=f(x)$ 的反函数 $y=f^{-1}(x)$，其图像关于 $y=x$ 对称（即原式中的 $x,y$ 互换坐标）。

5. 将上式中的 $x,y$ 对调，得到反函数的表达式：$y=-g(-x)$。

结论：选 (D) ✅

Example

例 45：对于函数 $f(x)$ 定义域中任意 $x_1,x_2(x_1\ne x_2)$，有如下结论：

① $f(x_1+x_2)=f(x_1)f(x_2)$

② $f(x_1{x}_2)=f(x_1)+f(x_2)$

③ $\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}>0$

④ $f(\frac{x_1+x_2}{2})>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2}$

当 $f(x)=\ln x$ 时，上述结论中所有正确的序号是（　）

(A) ①②③ (B) ①③④ (C) ②③④ (D) ②④

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逐项利用对数函数性质判定：

• ① 错误：对数没有加法变乘法的性质，$\ln (x_1+x_2)\ne \ln x_1\cdot \ln x_2$。

• ② 正确：这是对数的核心运算法则，真数相乘等于对数相加 $\ln (x_1{x}_2)=\ln x_1+\ln x_2$。

• ③ 正确：此式代表两点连线的斜率。由于 $\ln x$ 在其定义域上是单调递增函数，因此斜率始终为正。

• ④ 正确：此式是判断函数“凸凹性”的代数表达。$\ln x$ 的图像向上凸起，中点的函数值必定大于两端点函数值的平均数。

结论：正确的有 ②③④，选 (C) ✅