构建比例法（除以平方项技巧）

一、 核心逻辑：为什么要“除以 $a^2$”？

Info

1. 目标导向：制造比例

题目问的是 $\frac{b}{a}$ 的范围。我们手里的式子是 $a$ 和 $b$ 混在一起的（比如 $a^2-3ab+2b^2<0$）。

• 我们要把两个变量（$a$ 和 $b$）强行合并成一个整体。

• 只有除以 $a^2$，才能让式子出现 $(\frac{b}{a}{)}^2$ 和 $\frac{b}{a}$。

2. 降维打击：化面为线

• 含有 $a,b$ 的不等式代表的是坐标系里的一个“区域”（面）。

• 令 $t=\frac{b}{a}$ 后，问题变成了数轴上的一个“区间”（线）。一维永远比二维好解。

3. 安全性：不等式的“生死线”

• 为什么不除以 $a$？ 因为不知道 $a$ 是正还是负，除以 $a$ 可能要反转不等号，增加分类讨论的麻烦。

• 为什么要除以 $a^2$？ 因为只要 $a\ne 0$，$a^2$ 必定是正数。在不等式两边同除以正数，号不变，逻辑最稳。

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二、 判别准则：什么时候用这一招？

TIP

满足以下两个特征，无脑使用：

1. 齐次性：式子中每一项的次数都相等。

   • 例如：$a^2$ (2次)、$ab$ (1+1=2次)、$b^2$ (2次)。

2. 目标明确：求的是比例 $\frac{b}{a}$ 或 $\frac{a}{b}$ 的取值范围。

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三、例题

典型例题：齐次不等式的比例转化

题目：已知实数 $a,b$ 满足 $a^2+2b^2<3ab$，求 $\frac{b}{a}$ 的取值范围。

👉 点击展开：解析过程（逻辑步步拆解）

第一步：整理式子（移项）

$a^2-3ab+2b^2<0$

第二步：执行核心动作（除以 $a^2$）

1. 声明：若 $a=0$，则 $2b^2<0$ 不成立，故 $a\ne 0,a^2>0$。

2. 左右同除以 $a^2$：

   $\frac{a^2}{a^2}-\frac{3ab}{a^2}+\frac{2b^2}{a^2}<0$

3. 简化得：

   $1-3(\frac{b}{a})+2(\frac{b}{a}{)}^2<0$

第三步：换元简化

令 $t=\frac{b}{a}$，式子变为最熟悉的一元二次不等式：

$2t^2-3t+1<0$

第四步：解不等式得出范围

4. 因式分解：$(2t-1)(t-1)<0$。

5. 解得：$\frac{1}{2}<t<1$。

结论：$\frac{b}{a}$ 的取值范围是 $(\frac{1}{2},1)$。 ✅

💡 复习心得：

• 换元后的 $t$ 就是答案：不要再想着去解 $a$ 和 $b$ 具体是多少了，它们有无数种组合，但比例是唯一的。