一元n次方程

一、 一元二次方程及其解的性质

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1. 标准形式：$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$

2. 判别式：$\Delta =b^2-4ac$

• $\Delta >0$：两个互异实根 $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$

• $\Delta =0$：两个相等实根 $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$

• $\Delta <0$：实数范围内无实根

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二、 重要结论与方法：韦达定理及其变形

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1. 韦达定理核心公式：

若 $a{x}^2+bx+c=0$ 的两根为 $x_1,x_2$：

• $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

• $x_1\cdot x_2=\frac{c}{a}$

• 两根之差绝对值（速算公式）：$|{\mathbf{x}}_1-{\mathbf{x}}_2|=\frac{\sqrt{\mathbf{\Delta }}}{|a|}$

2. 考研常考代数变形：

• $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$

• $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=-\frac{b}{c}$

• $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2$

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三、例题

例 1：韦达定理与判别式的综合应用

题目：设 $f(x)=3a{x}^2+2bx+c$，且满足 $a+b+c=0$，$f(0)f(1)>0$。

证明：

(1) 方程 $f(x)=0$ 有实根；

(2) $-2<\frac{b}{a}<-1$；

(3) 若 $x_1,x_2$ 是方程 $f(x)=0$ 的两个实根，则 $|x_1-x_2|<\frac{2}{3}$。

👉 点击展开：解析过程

(1) 证明有实根：

• 计算判别式 $\Delta =(2b{)}^2-4(3a)c=4b^2-12ac$。

• 由 $a+b+c=0$ 知 $c=-(a+b)$，代入上式：

  $\Delta =4b^2-12a[-(a+b)]=4b^2+12ab+12a^2=4(b^2+3ab+3a^2)$。

• 配方得：$\Delta =4[(b+\frac{3}{2}a{)}^2+\frac{3}{4}{a}^2]$。

• 因为 $a\ne 0$，故 $\Delta >0$，方程必有两个互异实根。

(2) 证明范围 $-2<\frac{b}{a}<-1$：

• 由 $f(0)f(1)>0$ 得：$c(3a+2b+c)>0$。

• 代入 $c=-a-b$：$(-a-b)(2a+b)>0⟹(a+b)(2a+b)<0$。

• 核心步骤：两边同时除以 $a^2$。

  💡 为什么要除以 $a^2$？构建比例法（除以平方项技巧）

  1. 目标是比例：我们要证的是 $\frac{b}{a}$，除以 $a^2$ 可以强行把 $a,b$ 转化成 $\frac{b}{a}$ 这个整体。

  2. 符号安全：已证 $a\ne 0$，则 $a^2$ 必为正数。不等式两边同除正数，号不变。

• 整理得：$(1+\frac{b}{a})(2+\frac{b}{a})<0$。

• 解得：$-2<\frac{b}{a}<-1$。

(3) 证明 $|x_1-x_2|<\frac{2}{3}$（书本步骤版）：

• 由韦达定理知：$x_1+x_2=-\frac{2b}{3a}$，$x_1{x}_2=\frac{c}{3a}$。

• 利用平方式变形：

  $|x_1-x_2{|}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2$ 凑韦达定理需要的和积呢~

  $=(-\frac{2b}{3a}{)}^2-4(\frac{c}{3a})=\frac{4b^2}{9a^2}-\frac{4c}{3a}=\frac{4b^2-12ac}{9a^2}$

• 代入 $c=-(a+b)$：

  $|x_1-x_2{|}^2=\frac{4b^2-12a[-(a+b)]}{9a^2}=\frac{4b^2+12ab+12a^2}{9a^2}=\frac{4}{9}\left[(\frac{b}{a}{)}^2+3\frac{b}{a}+3\right]$

• 设 $t=\frac{b}{a}$，由 (2) 知 $t\in (-2,-1)$。令 $g(t)=t^2+3t+3$。

• 函数 $g(t)$ 在 $(-2,-1)$ 上的最大值趋近于 $g(-1)=g(-2)=1$。

• 故 $|x_1-x_2{|}^2<\frac{4}{9}\times 1=\frac{4}{9}$。

• 开方得：$|x_1-x_2|<\frac{2}{3}$。 ✅